Partie B : formalisation

On considère un nuage de points constitués de \(n\) points notés \(\text{A}_1\), \(\text{A}_2\), \(\text{A}_3\), ... , \(\text{A}_n\) dans un repère orthogonal. On note \((x_i~;y_i)\) les coordonnées des points \(\text{A}_i\), pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\).
Soit `a` et `b` deux nombres réels et la \((d)\) la droite d'équation \(y=ax+b\).
Les points \(\text{M}_1\), \(\text{M}_2\), \(\text{M}_3\), ... , \(\text{M}_n\) de la droite \((d)\) sont de même abscisses que, respectivement, les points \(\text{A}_1\), \(\text{A}_2\), \(\text{A}_3\), ... , \(\text{A}_n\) comme illustré dans la figure ci-dessous.

1. Justifier que \((\text{A}_1\text{M}_1)^2 = (y_1-(ax_1+b))^2\).
2. Que peut-on dire de la position du point \(\text{M}_1\) suivant la valeur de \((y_1-(ax_1+b))^2\) ?
3. Donner l'interprétation géométrique du nombre :\(\sum =(y_1-(ax_1+b))^2 + (y_2-(ax_2+b))^2 + ... + (y_n-(ax_n+b))^2\).
4. La droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés est celle qui passe « au plus près » des points du nuage. Établir une condition sur \(\Sigma\) traduisant la droite d'ajustement.